求曲面 e^z - z + xy = 3 在点 (2,1,0) 处的切平面及法线方程。 首先，我们需要计算曲面在给定点的切平面。曲面的切平面垂直于曲面在该点处的法线向量。 为了计算法线向量，我们需要求出曲面函数的偏导数，并将给定点的坐标代入。 首先，对于曲面方程 e^z - z + xy = 3，对 z 进行求导得到： ∂/∂z (e^z - z + xy) = e^z - 1 接下来，对于曲面方程 e^z - z + xy = 3，对 x 和 y 分别进行求导得到： ∂/∂x (e^z - z + xy) = y ∂/∂y (e^z - z + xy) = x 对于给定的点 (2,1,0)，将其代入偏导数的表达式中，得到： ∂/∂z (e^0 - 0 + 2*1) = 1 ∂/∂x (e^0 - 0 + 2*1) = 1 ∂/∂y (e^0 - 0 + 2*1) = 2 因此，在点 (2,1,0) 处的法线向量为 (1, 1, 2)。 接下来，我们可以利用法线向量和点 (2,1,0) 来构造切平面方程。切平面方程可以表示为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 (A, B, C) 为法线向量，(x, y, z) 为曲面上的任意一点，D为常数。 代入法线向量和给定点的坐标，得到切平面方程： 1*(x - 2) + 1*(y - 1) + 2*(z - 0) + D = 0 化简得到： x + y + 2z + D - 4 = 0 因此，在点 (2,1,0) 处的切平面方程为 x + y + 2z - 4 = 0。 综上所述，曲面 e^z - z + xy = 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程为 x + y + 2z - 4 = 0，法线向量为 (1, 1, 2)。