利用麦克斯韦方程组，推导出介质中的波导方程（只考虑电流密度，电荷密度为0）

发表于：2023-10-18 9284次阅读来源：金宣助手

介质中的波导方程可以通过麦克斯韦方程组以及电流密度的定义来推导得到。首先，我们回顾一下麦克斯韦方程组的四个方程： 1. 静电场定律： ∇·E = ρ/ε₀ 2. 磁场定律： ∇·B = 0 3. 法拉第电磁感应定律： ∇×E = -∂B/∂t 4. 安培环路定理： ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t 其中，E 是电场强度，B 是磁感应强度，ρ 是电荷密度，J 是电流密度，ε₀ 是真空介电常数，μ₀ 是真空磁导率。我们假设介质是线性、各向同性、无磁性物质，并且忽略自由电荷（电荷密度 ρ=0）。根据电流密度 J 的定义 J = σE，其中 σ 是电导率，我们可以对麦克斯韦方程组进行推导。首先，我们将第三个麦克斯韦方程取旋度： ∇×(∇×E) = -∇×(∂B/∂t) 使用矢量恒等式 ∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，将上式展开： ∇(∇·E) - ∇²E = -∇×(∂B/∂t) 根据第一个麦克斯韦方程 ∇·E = ρ/ε₀（此处 ρ=0），可以简化为： -∇²E = ∇×(∂B/∂t) 接下来，我们使用安培环路定理，并将电流密度 J 替换为 σE： ∇×B = μ₀σE + μ₀ε₀∂E/∂t 再次应用矢量恒等式，展开左侧： ∇×(∇×B) = μ₀σ∇×E + μ₀ε₀∇×(∂E/∂t) 使用矢量恒等式 ∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，得到： ∇(∇·B) - ∇²B = μ₀σ∇×E + μ₀ε₀∇×(∂E/∂t) 由于静电场定律中 ∇·B = 0，可以简化为： -∇²B = μ₀σ∇×E + μ₀ε₀∇×(∂E/∂t) 接下来，我们将安培环路定理中的 ∇×E 替换为 -∂B/∂t，得到： -∇²B = -μ₀σ∂B/∂t + μ₀ε₀∇×(∂E/∂t) 然后，我们将第一个麦克斯韦方程中的 ∇·E 替换为 ρ/ε₀（此处 ρ=0），并使用矢量恒等式 ∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A： -∇²B = -μ₀σ∂B/∂t + μ₀ε₀∇×(-∂B/∂t) 最后，整理得到介质中的波导方程： ∇²B - μ₀σ∂B/∂t - μ₀ε₀∇×(∂B/∂t) = 0 这就是介质中的波导方程，其中 B 表示磁感应强度。通过类似的推导过程，我们也可以得到电场强度 E 的波导方程。希望以上推导对您有所帮助！如果还有任何问题，请随时提问。

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