设 z = f ( x ，y ）是由 e^xz+ Iny =1所确定的函数，求全微分 dz

发表于：2023-06-14 4137次阅读来源：金宣助手

要求计算函数 z = f(x, y) 的全微分 dz，其中函数 f(x, y) 由方程 e^xz + ln y = 1 所确定。首先，我们可以对方程 e^xz + ln y = 1 进行求导，得到： ∂(e^xz)/∂x + ∂(ln y)/∂x = 0 （1） ∂(e^xz)/∂y + ∂(ln y)/∂y = 0 （2）根据链式法则，我们可以得到 ∂(e^xz)/∂x 和 ∂(e^xz)/∂y 的具体表达式： ∂(e^xz)/∂x = (e^xz) * (∂(xz)/∂x) （3） ∂(e^xz)/∂y = (e^xz) * (∂(xz)/∂y) （4）其中，根据乘积法则，我们有 ∂(xz)/∂x = x * (∂z/∂x) + z ；∂(xz)/∂y = x * (∂z/∂y) 。将以上结果代入式子(3)和式子(4)，并结合式子(1)和式子(2)，我们可以得到： (e^xz) * (x * (∂z/∂x) + z) + (∂(ln y)/∂x) = 0 （5） (e^xz) * x * (∂z/∂y) + (∂(ln y)/∂y) = 0 （6）现在，我们可以重新整理上述两个式子，得到关于 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y 的表达式： ∂z/∂x = -z/x （7） ∂z/∂y = -(e^xz) * x/y （8）接下来，我们需要计算 dz，即全微分。全微分的定义为： dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy （9）将式子(7)和式子(8)代入式子(9)，我们可以得到全微分 dz 的具体表达式： dz = (-z/x) * dx - (e^xz) * x/y * dy （10）至此，我们成功地求得了函数 z = f(x, y) 的全微分 dz 的表达式，即式子(10)。注意：由于题目要求内容不超过1500字，因此上述解答只提供了求解的主要步骤和结果。如需更详细的推导过程，还需要展开更多计算和文字说明。

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