已知幂级数∑ （n=1 ∞）n ( n +1) x ^（n-1），求： (1）求该级数的收敛半径；(2）求该级数的收敛域；(3）求该级数的和

发表于：2023-06-14 5569次阅读来源：金宣助手

根据幂级数收敛的Cauchy-Hadamard公式，可以求得该级数的收敛半径。 (1) 求收敛半径：根据Cauchy-Hadamard公式，收敛半径R的倒数等于极限存在的情况下，幂级数中最高次项系数的绝对值的开n次方，即： 1/R = lim sup (|n(n+1)|^(1/n)) 为了求这个极限，我们可以使用根值测试（Root Test）: 设 a_n = |n(n+1)|^(1/n) 求 a_n 的极限： lim(n->∞) |n(n+1)|^(1/n) = 1 由于极限存在且等于1，所以收敛半径 R = 1/(lim sup a_n) = 1 所以该级数的收敛半径为 1。 (2) 求收敛域：根据幂级数的收敛半径 R，该级数在以复平面上圆心为中心、半径为 R 的圆内收敛，圆上或者圆外则不一定收敛。所以该级数的收敛域为以圆心为中心、半径为 1 的圆（开口朝外）。 (3) 求级数的和：根据幂级数的和的计算公式，有以下两种方法可以求得该级数的和：方法一：将幂级数转化为函数表达式由于幂级数是x的多项式级别，我们可以将其转化为函数求和。题目中给出的幂级数为： ∑ （n=1 ∞）n ( n +1) x ^（n-1）根据等比数列的求和公式，我们可以得到： ∑ （n=1 ∞）n ( n +1) x ^（n-1）= d/dx (∑（n=1 ∞）(n^2)x^n) ，其中 ∑（n=1 ∞）(n^2)x^n 是一个幂级数，收敛半径也为 1。然后对 ∑（n=1 ∞）(n^2)x^n 进行求和： ∑（n=1 ∞）(n^2)x^n = x*(d/dx (∑（n=1 ∞）(nx^n))) = x*(d/dx (∑（n=1 ∞）(x^n))/dx) = x*(d/dx (x/(1-x))) = x/(1-x)^2 所以原始幂级数的和为 x/(1-x)^2。方法二：利用幂级数求和公式幂级数求和公式适用于收敛半径内的幂级数，对于题目给出的幂级数，可以将其转化为已知的幂级数形式（例如幂级数展开式），然后应用求和公式进行计算。根据题目给出的幂级数形式，可以将其转化为 ∑（n=1 ∞）(n^2)x^n 的形式，然后利用幂级数求和公式进行计算。综上所述，该级数的和为 x/(1-x)^2。

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