曲线x=√2cost，y=sint，z=sint，在点（√2，0，0）处的法平面方程为 Ax + By + Cz + D =0．若 B

发表于：2023-06-14 6185次阅读来源：金宣助手

根据题目给出的曲线参数方程，可以计算曲线在点（√2，0，0）处的切向量为： r'(t) = (√2sin(t), cos(t), cos(t)) 将 t=0 代入上式得到 r'(0) = (0, 1, 1)，这就是曲线在点（√2，0，0）处的切向量。由于法向量与切向量垂直，所以法向量可以取切向量的一个垂直向量。以 (0, 1, 1) 为切向量，我们可以取两个不平行于切向量的向量来构成法平面的法向量。假设两个向量为 v1 和 v2 ，根据向量的垂直性，可以得到以下方程组： v1·(0, 1, 1) = 0 v2·(0, 1, 1) = 0 其中，· 表示向量的点乘运算。解以上方程组可以得到满足条件的两个向量 v1 和 v2 。由于向量有无数个解，可以通过标量的方式任意缩放得到无数个满足条件的解。为了简化计算，我们可以选择单位向量作为法向量。设 v1 = (a, b, c) ，根据 v1 的单位长度条件可得 a^2 + b^2 + c^2 = 1。由于单位长度条件有无数个解，我们可以任意选择一个参数进行代入计算。选取 a = 1，代入以上方程组可得到以下结果： b + c = 0 b^2 + c^2 = 1 将第一个方程代入第二个方程，得到 b^2 + (-b)^2 = 1 解得 b = ±1/√2 当 b = 1/√2 时，c = -1/√2 ，所以 v1 = (1, 1/√2, -1/√2) 当 b = -1/√2 时，c = 1/√2 ，所以 v2 = (1, -1/√2, 1/√2) 由于向量的缩放不影响方向，我们可以将 v1 和 v2 缩放为单位向量： v1 = (1/√3, 1/√6, -1/√6) v2 = (1/√3, -1/√6, 1/√6) 根据平面法向量和平面上一点，可以得到法平面的方程形式： A(x-√2) + B(y-0) + C(z-0) = 0 代入法向量和点的坐标得到： (1/√3)(x-√2) + (1/√6)y - (1/√6)z = 0 化简后可得： (x-√2)/(√3) + y/(√6) - z/(√6) = 0 将方程两边乘以 √6，得到最终的法平面方程为： √6(x-√2) + √6y - √6z = 0 进一步化简可得： √6x + √6y - √6z - 2√3 = 0 所以，点（√2，0，0）处的法平面方程为 √6x + √6y - √6z - 2√3 = 0。

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