计算曲面壳∑: z =（x^2+y^2)^1/2 (0≤z≤1）的质量，其中面密度 p=z^2

发表于：2023-06-14 3627次阅读来源：金宣助手

要计算曲面壳的质量，我们需要使用面积分来进行求解。首先，我们需要确定曲面的参数化表示。给定曲面方程 z = （x^2+y^2)^1/2，我们可以将其参数化为： x = r*cosθ y = r*sinθ z = r 其中，r是曲面的半径，θ是角度。接下来，我们需要计算曲面的法向量和曲面元素。曲面的法向量可以通过对参数化方程求偏导数得到： N = (∂z/∂x, ∂z/∂y, -1) = (x/r, y/r, -1) = (cosθ, sinθ, -1) 曲面元素可以通过计算参数化曲面上的两个向量的叉乘得到： dS = |(∂r/∂x, ∂r/∂y, ∂r/∂z) × (∂θ/∂x, ∂θ/∂y, ∂θ/∂z)| = |(-sinθ, cosθ, 0) × (cosθ, sinθ, 0)| = |(0, 0, 1)| = 1 现在我们可以计算曲面壳的质量了。根据曲面的面密度 p = z^2，在单位面积上的质量元素 dm 可以表示为： dm = p * dS = z^2 * dS = r^2 * dS 因此，曲面壳在区域 D（0≤z≤1）上的质量 M 可以表示为面积分的形式： M = ∫∫D dm = ∫∫D r^2 * dS = ∫∫D r^2 * 1 dA = ∫∫D r^2 * r drdθ 其中，dA 是在极坐标系下的面积元素。由于曲面是一个旋转曲面，我们可以将积分范围改为极坐标形式： 0≤r≤1 0≤θ≤2π 现在，我们可以进行曲面壳的质量计算： M = ∫∫D r^3 drdθ = ∫0^1 r^3 dr ∫0^2π dθ = ∫0^1 r^3 dr * [θ]0^2π = ∫0^1 r^3 dr * 2π = (2π/4) * [r^4]0^1 = π/2 因此，曲面壳的质量为 π/2。

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